Kendall: M / M / 1 / N

Población Finita (N Fuentes)

En este modelo el universo de clientes posibles es pequeño y cerrado (por ejemplo, las N máquinas de una fábrica). Como hay pocas máquinas, a medida que se van descomponiendo y entran al taller, la probabilidad de que llegue una nueva disminuye drásticamente.

El Error Clásico: La Tasa Individual vs. Global

En los enunciados de este modelo, te darán la tasa de falla de una sola máquina ($\lambda$). Para calcular los tiempos usando la Ley de Little, necesitas la Tasa de Llegada Efectiva ($\lambda_e$), que depende de cuántas máquinas sigan vivas en la planta.

$\lambda_e = \lambda (N - L)$
  • $N$ = Número total de máquinas que posee la empresa.
  • $L$ = Promedio de máquinas descompuestas (en el sistema de reparación).
  • $(N - L)$ = Promedio de máquinas que siguen funcionando sanas.

Formulario Desglosado

Al igual que en Multiservidor, aquí la fórmula de $P_0$ lleva una sumatoria con factoriales. La buena noticia es que casi siempre N es un número pequeño (3, 4 o 5 máquinas).

Probabilidad de que el taller esté vacío ($P_0$):$P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{N} \frac{N!}{(N-n)!} \left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^n \right]^{-1}$

Cantidades (Máquinas)

Máquinas en el taller ($L$):

$L = N - \frac{\mu}{\lambda}(1 - P_0)$

Máquinas esperando reparación ($L_q$):

$L_q = N - \frac{\lambda + \mu}{\lambda}(1 - P_0)$

Tiempos (Ley de Little)

Tiempo de permanencia en taller ($W$):

$W = \frac{L}{\lambda_e}$

Tiempo esperando al técnico ($W_q$):

$W_q = \frac{L_q}{\lambda_e}$

Ejemplo: Taller de mantenimiento de robots

Enunciado Interactivo

Una empresa manufacturera utiliza4 robots móvilesUniverso Cerrado ($N = 4$)Esto define automáticamente el modelo como Población Finita.autónomos. Se ha observado que cada robot operativo presenta una falla, en promedio,cada 20 horasTasa de Falla Individual ($\lambda$)Ojo, esto es tiempo. Hay que pasarlo a tasa: $\lambda = 1/20 = 0.05$ fallas/hr.. El taller cuenta conun único técnicoServidor ($s = 1$), capaz de reparar robots con un tiempo medio de reparación de1,5 horasServicio ($\mu$)Convertimos a tasa: $\mu = 1 / 1.5 = 0.667$ reparaciones/hr.. Costo fuera de servicio: $25 por robot-hora. Costo de operación del técnico: $40 por hora.

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Transformar Tiempos a Tasas

Es vital trabajar con tasas por hora para evitar dividir mal.

$\lambda = 1/20 = 0.05 \quad ; \quad \mu = 1/1.5 = 0.667$
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Sumatoria de Taller Vacío ($P_0$)

Como $N=4$, expandimos la sumatoria para n=0, 1, 2, 3 y 4. (El ratio $\lambda/\mu = 0.075$). Resolviendo los factoriales da:

$P_0 \approx 0.725 \quad (72.5\% \text{ del tiempo el técnico no hace nada})$
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Robots en taller y Tasa Efectiva

Con $P_0$ ya podemos aplicar directo las fórmulas largas:

$L = 4 - \frac{0.667}{0.05}(1 - 0.725) \approx 0.334 \text{ robots en mantenimiento.}$

$\lambda_e = 0.05(4 - 0.334) \approx 0.183 \text{ fallas reales ingresan por hora.}$

La sumatoria final te espera

Fija el concepto de "Fuentes Cerradas" con la calculadora diseñada exclusivamente para este modelo.

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