Kendall: M / M / s

Multiservidor (M/M/s)

Este modelo representa escenarios donde los clientes forman una única fila, pero son atendidos por múltiples servidores idénticos que trabajan en paralelo (como las cajas de un banco o un terminal de facturación en el aeropuerto).

Paso 1: La nueva condición de estabilidad

Como ahora tienes varios servidores ($s$), la capacidad total del sistema se multiplica. Por lo tanto, para que la cola no crezca al infinito, la tasa de llegada debe ser menor a la capacidad de todos los servidores combinados.

$\rho = \frac{\lambda}{s \cdot \mu} < 1$

El mayor obstáculo: Calcular $P_0$

Casi todos los errores en este modelo provienen de teclear mal esta fórmula en la calculadora. Sepárala en dos partes mentalmente: la sumatoria (cuando hay menos clientes que servidores) y la fracción final (cuando todos los servidores están llenos).

$P_0 = \left[ \sum_{n=0}^{s-1} \frac{(\lambda/\mu)^n}{n!} + \frac{(\lambda/\mu)^s}{s!} \left( \frac{1}{1-\rho} \right) \right]^{-1}$

Cantidades (L)

Clientes en la cola ($L_q$):

$L_q = \frac{P_0 (\lambda/\mu)^s \rho}{s! (1-\rho)^2}$

Clientes en el sistema ($L$):

$L = L_q + \frac{\lambda}{\mu}$

Tiempos y Costos

Ley de Little (Tiempos):

$W_q = \frac{L_q}{\lambda} \quad \text{y} \quad W = W_q + \frac{1}{\mu}$

Costo Total del Sistema ($CT$):

$CT = L \cdot C_w + s \cdot C_s$

Nota: Se multiplica $C_s$ por $s$ porque estás pagándole a todos los servidores.

Ejemplo: La Sucursal Bancaria

Enunciado Interactivo

Una sucursal bancaria tienedos cajerosServidores ($s = 2$)Define que trabajaremos con el modelo M/M/s.igualmente eficientes y capaces de atender cada uno, en promedio,60 clientes por horaServicio ($\mu = 60$)Tasa de atención por cada servidor individual., con los tiempos reales de servicio distribuidos exponencialmente. Los clientes llegan al banco siguiendo un proceso de Poisson con unatasa media de 100 por horaLlegadas ($\lambda = 100$)Flujo de entrada de la clientela a la fila única.. Se calculó que el sistema está desocupado el 9.09% del tiempo (es decir, $P_0 = 0.0909$).

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Verificar parámetros y estabilidad

Calculamos si los 2 cajeros dan abasto para los 100 clientes por hora.

$\rho = \frac{100}{2 \cdot 60} = \frac{100}{120} = 0.833 \quad (\text{Estable})$
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Cálculo de Cola ($L_q$)

Usando el dato regalado de $P_0 = 0.0909$ (salvándonos de la sumatoria gigante) y $\lambda/\mu = 100/60 = 1.667$:

$L_q = \frac{0.0909 \cdot (1.667)^2 \cdot 0.833}{2! \cdot (1 - 0.833)^2} \approx 3.79 \text{ clientes esperando.}$
3

Tiempos y Clientes Totales

Aplicando las fórmulas simples de relaciones:

$L = 3.79 + \frac{100}{60} = 3.79 + 1.667 = 5.45 \text{ clientes.}$

$W = \frac{L}{\lambda} = \frac{5.45}{100} = 0.0545 \text{ horas } (\approx 3.27 \text{ min}).$

¿Preparado para el desafío de $P_0$?

La clave del Multiservidor es ser ordenado con la calculadora. Demuestra que lo entiendes resolviendo los problemas del certamen.

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