Práctica: Multiservidor (M/M/s)

Desarrollo Paso a Paso:

Datos: $\lambda = 30$, $\mu = 12$, $s = 3$.

• A) Utilización ($\rho$):
  $\rho = \frac{\lambda}{s \cdot \mu} = \frac{30}{3 \cdot 12} = \frac{30}{36} = 0.833$ (83.3% ocupados).
• B) Fila ($L_q$):
  Primero calculamos $P_0$ (por fórmula o calculadora): $P_0 \approx 0.0449$.
  $L_q = \frac{0.0449 \cdot (30/12)^3 \cdot 0.833}{3! \cdot (1 - 0.833)^2} = \frac{0.0449 \cdot 15.625 \cdot 0.833}{6 \cdot 0.0278} \approx 3.51$ clientes esperando.
• C) Tiempo total ($W$):
  $W = \frac{L_q}{\lambda} + \frac{1}{\mu} = \frac{3.51}{30} + \frac{1}{12} = 0.117 + 0.083 = 0.20$ horas (12 minutos).

Desarrollo Paso a Paso:

Homologamos datos a horas:

• $\lambda = 50$ llamadas/hr.
• Tiempo = 5 min $\rightarrow \mu = \frac{60}{5} = 12$ llamadas/hr.
• $s = 4$ operadores.

Calculamos la estabilidad:

Como $\rho > 1$, el sistema colapsará. Los operadores no dan abasto para responder todas las llamadas entrantes y la fila crecerá infinitamente. No se puede calcular $L_q$ con las fórmulas de estado estable.

Desarrollo Paso a Paso:

Datos fijos: $\lambda = 18$, $\mu = 20$, $C_w = 80$, $C_s = 50$. Fórmula: $CT = (L \cdot 80) + (s \cdot 50)$.

Escenario 1: Con 2 grúas (s=2)

• $\rho = \frac{18}{40} = 0.45$
• Con la calculadora obtenemos $P_0 = 0.379$ y $L = 1.056$ camiones.
• $CT_{s=2} = (1.056 \cdot 80) + (2 \cdot 50) = 84.48 + 100 = 184.48$ USD.

Escenario 2: Con 3 grúas (s=3)

• $\rho = \frac{18}{60} = 0.3$
• Con la calculadora obtenemos $P_0 = 0.406$ y $L = 0.916$ camiones.
• $CT_{s=3} = (0.916 \cdot 80) + (3 \cdot 50) = 73.28 + 150 = 223.28$ USD.

Conclusión:

No conviene contratar la tercera grúa. Aunque reduce el número de camiones inmovilizados, el ahorro ($11.20) no justifica el sueldo extra de la nueva grúa ($50). El sistema con 2 grúas es el más óptimo económicamente.

Desarrollo Paso a Paso:

Datos: $\lambda = 40$, $\mu = 15$, $s = 3$.

• Utilización: $\rho = \frac{40}{45} = 0.888$ (Alto tráfico, pero estable).
• Probabilidad de esperar ($P_w$):
  La fórmula para esto es la "Fórmula C de Erlang" o probabilidad de demora:
  $P_w = \frac{P_0 (\lambda/\mu)^s}{s! (1-\rho)}$
  
  Calculando $P_0 \approx 0.035$, reemplazamos en la fórmula (o miramos directamente la pantalla de la calculadora arriba a la derecha) y obtenemos:
  $P_w = 0.697$
• Respuesta: Hay un 69.7% de probabilidad de que el pasajero tenga que detenerse a hacer fila.