Kendall: M / M / 1

El Modelo Base (M/M/1)

Es el sistema de colas más fundamental. Se caracteriza por tener un único servidor, llegadas exponenciales (Poisson) y tiempos de servicio exponenciales. La disciplina es FIFO y la fila puede crecer hasta el infinito.

Paso 1 Obligatorio: El Factor de Utilización ($\rho$)

Antes de mirar el formulario, debes calcular la utilización promedio del sistema.

$\rho = \frac{\lambda}{\mu}$

¡Trampa de Certamen! Si al calcular este factor te da $\rho \ge 1$, detente. La respuesta correcta es que el sistema es inestable porque llegan más clientes de los que se pueden atender. La cola crecerá al infinito y las fórmulas de abajo no aplican.

Formulario Desglosado

Tiempos (W)

Tiempo en el sistema ($W$):

$W = \frac{1}{\mu - \lambda}$

Tiempo total (espera en fila + tiempo siendo atendido).

Tiempo en la cola ($W_q$):

$W_q = \frac{\lambda}{\mu(\mu - \lambda)}$

Cantidades (L)

Clientes en el sistema ($L$):

$L = \frac{\lambda}{\mu - \lambda}$

Los que están en la fila más el que está siendo atendido.

Clientes en la cola ($L_q$):

$L_q = \frac{\lambda^2}{\mu(\mu - \lambda)}$

Probabilidades Clave

Sistema vacío ($P_0$):$P_0 = 1 - \rho$
$n$ clientes en sistema ($P_n$):$P_n = (1 - \rho)\rho^n$

Ejemplo: Estación de mecanizado CNC

Enunciado Interactivo (Pasa el cursor sobre los textos resaltados)

Las piezas llegan a una estación de mecanizado CNC según un proceso de Poisson con unatasa promedio de 8 piezas por horaLlegadas ($\lambda = 8$)Representa el flujo de entrada al sistema.. La máquina CNC puede procesar las piezas con tiempos exponenciales, atendiendo en promedio12 piezas por horaServicio ($\mu = 12$)Ambas tasas (λ y μ) están en horas. ¡Podemos calcular directo sin conversiones!. Existe espacio suficiente para fila y hayuna sola máquinaServidor ($s = 1$)Esto confirma que la notación de Kendall correcta es M/M/1.. Costo de espera: $15/pieza-hora. Costo de máquina: $40/hora.

1

Identificar variables y verificar estabilidad

Tasa de llegada: $\lambda = 8$. Tasa de servicio: $\mu = 12$. Ambas están en horas (estamos bien).

$\rho = \frac{8}{12} = 0.667 \quad (\text{Estable})$
2

Cálculo de Desempeño (Cantidades)

Reemplazamos directo en las fórmulas de L y Lq:

$L = \frac{8}{12 - 8} = \frac{8}{4} = 2 \text{ piezas en total.}$

$L_q = \frac{8^2}{12(12 - 8)} = \frac{64}{48} = 1.33 \text{ piezas esperando en la cola.}$
3

Cálculo de Desempeño (Tiempos)

Ojo con la unidad de medida. El resultado dará en horas.

$W = \frac{1}{12 - 8} = \frac{1}{4} \text{ hora } (15 \text{ minutos en procesar todo}).$

$W_q = \frac{8}{12(12 - 8)} = \frac{8}{48} = 0.166 \text{ hora } (10 \text{ minutos en la fila}).$
4

Análisis de Costos

El costo total suma el costo de la máquina operando más el costo del inventario paralizado (piezas en el sistema L).

$CT = (L \cdot C_w) + C_s = (2 \cdot 15) + 40 = 70 \text{ USD por hora.}$

¿Entendiste la lógica?

La mejor forma de fijar la teoría es equivocándose un par de veces. Ve al gimnasio de práctica de M/M/1 y prueba los ejercicios propuestos.

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