Práctica: Modelo M/M/1

Desarrollo Paso a Paso:

Identificamos los datos: $\lambda = 45$, $\mu = 60$.

• A) Calculamos $\rho = \frac{45}{60} = 0.75$. La probabilidad de estar ocioso es $P_0 = 1 - 0.75 = 0.25$. (25% del tiempo).
• B) Fila esperando ($L_q$): $L_q = \frac{45^2}{60(60-45)} = \frac{2025}{900} = 2.25$ peticiones.
• C) Tiempo en el sistema ($W$): $W = \frac{1}{60-45} = \frac{1}{15}$ de minuto.
  Multiplicando por 60 segundos: $\frac{1}{15} \times 60 = 4$. Respuesta: 4 segundos.

Desarrollo Paso a Paso:

Identificamos y homologamos los datos:

• Tasa de llegada: $\lambda = 5$ trabajos/hora.
• Tiempo de servicio = 15 minutos. Para pasarlo a tasa horaria: $\mu = \frac{60 \text{ min}}{15 \text{ min}} = 4$ trabajos/hora.

Calculamos el factor de utilización:

Como $\rho > 1$, el sistema es inestable. Llegan más trabajos de los que el servidor puede procesar. La cola tenderá al infinito y no se pueden calcular los indicadores de desempeño en estado estacionario.

Desarrollo Paso a Paso:

Datos del problema: $\lambda = 90$, $\mu = 120$.

• A) Probabilidad de vacío ($P_0$):
  $P_0 = 1 - \frac{90}{120} = 1 - 0.75 = 0.25$. (25% de probabilidad).
• B) Probabilidad de esperar:
  El cliente espera si el sistema está ocupado. La probabilidad de estar ocupado es simplemente $\rho$.
  $P(\text{esperar}) = \rho = 0.75$. (75% de probabilidad).
• C) Clientes en la cola ($L_q$):
  $L_q = \frac{90^2}{120(120 - 90)} = \frac{8100}{3600} = 2.25$ clientes en promedio.

Desarrollo Paso a Paso:

Datos: $\lambda = 4$ autos/hora. Servicio de 10 min implica que $\mu = \frac{60}{10} = 6$ autos/hora. $\rho = \frac{4}{6} = 0.667$.

• A) Autos en el sistema ($L$):
  $L = \frac{4}{6 - 4} = \frac{4}{2} = 2$ autos.
• B) Tiempo en el sistema ($W$):
  $W = \frac{1}{6 - 4} = 0.5$ horas. En minutos: $0.5 \times 60 = 30$ minutos.
• C) Probabilidad de exactamente 2 autos ($P_2$):
  $P_2 = (1 - \rho)\rho^2 = (1 - 0.667)(0.667)^2 = (\frac{1}{3})(\frac{4}{9}) = \frac{4}{27} \approx 0.148$. (14.8% de probabilidad).

Desarrollo Paso a Paso:

Datos: $\lambda = 15$, $\mu = 20$. Costo servidor: $C_s = 10$. Costo de espera: $C_w = 12$.

• A) Clientes en el sistema ($L$):
  $L = \frac{15}{20 - 15} = \frac{15}{5} = 3$ clientes en promedio.
• B) Costo Total Horario ($CT$):
  Según la fórmula del profesor: $CT = L \cdot C_w + C_s$.
  $CT = (3 \times 12) + 10 = 36 + 10 = 46$ USD por hora.