Kendall: M / M / 1 / K

Capacidad Finita (Límite K)

En este modelo el espacio es limitado. El sistema solo puede albergar un máximo de K clientes al mismo tiempo (contando al que está siendo atendido). Si un cliente llega y el sistema está lleno, es rechazado y se pierde.

Paso 1 Obligatorio: La Tasa Efectiva ($\lambda_e$)

Ya no puedes usar la tasa de llegada ($\lambda$) original para calcular los tiempos (W) o las colas (Lq). Como el sistema rechaza gente, debes calcular cuántos clientes realmente logran entrar. A esto se le llama Tasa Efectiva.

$\lambda_e = \lambda (1 - P_K)$

$P_K$ es la probabilidad de que haya K clientes en el sistema (es decir, que esté lleno).
A $P_K$ también se le llama Probabilidad de Rechazo o Probabilidad de Pérdida.

Cuidado: Dos formularios diferentes

A diferencia del modelo infinito, aquí un sistema SÍ puede funcionar si $\rho = 1$ o $\rho > 1$ (porque la cola nunca crecerá al infinito, está topada por K). Si $\rho = 1$, debes usar el recuadro especial de tu formulario para no dividir por cero.

Caso Estándar ($\rho \neq 1$)

Probabilidad de Vacío ($P_0$):$P_0 = \frac{1-\rho}{1-\rho^{K+1}}$

Probabilidad de Lleno ($P_K$):$P_K = P_0 \cdot \rho^K$

Clientes en sistema ($L$):$L = \frac{\rho}{1-\rho} - \frac{(K+1)\rho^{K+1}}{1-\rho^{K+1}}$

¡CUIDADO!

Caso Especial ($\rho = 1$)

Probabilidades ($P_0$ y $P_K$):$P_0 = P_K = \frac{1}{K+1}$

Clientes en sistema ($L$):$L = \frac{K}{2}$

Clientes en cola ($L_q$):$L_q = \frac{K}{2} - \frac{K}{K+1}$

Fórmulas comunes (Ley de Little)

Independiente de si $\rho$ es 1 o no, los tiempos siempre se calculan usando la Tasa Efectiva:

$L_q = L - (1 - P_0)$

$W = \frac{L}{\lambda_e}$

$W_q = \frac{L_q}{\lambda_e}$

Ejemplo: El Autolavado (Caso $\rho=1$)

Enunciado Interactivo

Un lavadero automático cuenta conuna sola bahía de lavadoServidor ($s = 1$)y tiene espacio para que máximo3 autos esperen en la filaCuidado con KSi hay 3 en fila y 1 lavándose, la capacidad total del sistema es K = 4.. Si llega un auto y el espacio está lleno, se va a la competencia. Los autos llegan a unatasa de 12 por horaLlegadas ($\lambda = 12$), y la máquina demora exactamente 5 minutos en promedio por auto, es decir, lava12 autos por horaServicio ($\mu = 12$).

Verificar el Factor y el Caso

Calculamos $\rho$ para saber qué parte del formulario mirar.

$\rho = \frac{12}{12} = 1$ (Ojo: Usamos las fórmulas especiales de $\rho = 1$)

Probabilidad de Rechazo y Tasa Efectiva

Calculamos la probabilidad de que el sistema esté lleno ($P_4$) para saber cuántos clientes perdemos.

$P_K = P_4 = \frac{1}{4+1} = \frac{1}{5} = 0.2 \quad (20\% \text{ de rechazo})$

$\lambda_e = 12(1 - 0.2) = 12(0.8) = 9.6 \text{ autos/hora entran realmente.}$

Tiempos y Cantidades

Aplicamos las fórmulas simples de $\rho=1$ y luego la Ley de Little usando $\lambda_e$.

$L = \frac{K}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ autos adentro en total.}$

$W = \frac{L}{\lambda_e} = \frac{2}{9.6} = 0.208 \text{ horas } (\approx 12.5 \text{ min en total}).$

¿Listo para ser el Guardia del Antro?

Domina el uso de la Tasa Efectiva ($\lambda_e$) y pon a prueba si sabes identificar correctamente K en el gimnasio.

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